Читай, развивайся: «Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса»

Вопрос этот в той или иной форме мучил многих выдающихся людей вот уже более 2000 лет, и МЛ рассказывает о многих из плеяды блестящих ученых человечества, начиная с Пифагора, Платона, Архимеда и т.д. При этом МЛ выбирает из списка корифеев только тех уникумов, каких он называет «волшебниками» и «которые способны вытаскивать кроликов из буквально пустых шляп, тех, кто открыл связи между математикой и природой, которые раньше никому не приходили в голову, тех, кто способен наблюдать сложные природные феномены и вычленять из них кристально чистые математические законы». Поэтому после Архимеда он рассказывает о Галилее, потом о Декарте, Ньютоне, Паскале и т.д. Замечу, что все очерки о жизни великих ученых написаны живо, с деталями, какие редко приводятся в школьных учебниках. Например, лично я даже не подозревал, что формулировка знаменитого 5-го постулата Евклида о параллельных прямых, которую мы все знаем со школы, вовсе не принадлежит Евклиду и появилась впервые в комментариях Прокла в V веке, а затем стала широко цитируемой по работам шотландского математика Джона Плейфэра (1748-1819). Эта формулировка, естественно, эквивалентна евклидовской.

Точка зрения самих математиков, естественно, менялась со временем. Сначала это было описание реальности. «К концу XIX века большинство математиков уже придерживалось представлений Кантора и Дедекинда о свободе математики. Цель математики изменилась – теперь это был не поиск истин о природе, а конструирование абстрактных структур, систем аксиом и исследование всех логических следствий из этих аксиом». Однако «даже необузданная на первый взгляд свобода математики предполагала одно несокрушимое и неизменное ограничение – требование логической непротиворечивости. Математики и философы сильнее прежнего понимали, что перерезать пуповину между математикой и логикой ни в коем случае нельзя. Это породило другую идею: можно ли выстроить всю математику на едином логическом фундаменте? И если да, не в этом ли тайна ее эффективности?» Задав этот вопрос, МЛ целую главу обсуждает связь между логикой, а следовательно, между законами человеческого мышления и математикой. Здесь же рассказывается об антиномиях, т.е. парадоксах, когда вполне разумные соображения приводят к явно противоречивым выводам. Например, кто бреет деревенского цирюльника, утверждающего, что он бреет только тех, кто не бреется сам (знаменитый парадокс Рассела)? Великий немецкий математик Д. Гильберт затратил много сил, пытаясь доказать, что математика может быть строго логически последовательной, но эту надежду разрушил Курт Гедель, доказавший свою теорему о неполноте. Оказалось, что всякая формальная система либо неполна, либо противоречива. «То есть в лучшем случае всегда будут какие-то утверждения, которые эта формальная система не сможет ни доказать, ни опровергнуть. В худшем же эта система приведет к противоречиям». И снова параллельно основной линии книги МЛ рассказывает несколько интересных деталей о весьма непростой личности Геделя.

Расставшись с Геделем, МЛ переходит к обсуждению «непостижимой эффективности» математики в объяснении реального мира. Один из приводимых им примеров – теория узлов, которая долго была лишь «эзотерической областью чистой математики». И вдруг оказалось, что молекулы ДНК скручены в сложные узлы и для их репликации и транскрипции нужно уметь эти узлы развязывать. Более того, помимо применения в молекулярной биологии теория узлов оказалась востребованной в теории струн – современной попытке сформулировать универсальную теорию, объясняющую все взаимодействия в природе. «Уже несколько десятков лет физики пытаются построить «Теорию Всего» – всеобъемлющее описание законов природы. В частности, они хотели бы ликвидировать разрыв между большим и малым при помощи квантовой теории гравитации – примирить общую теорию относительности с квантовой механикой. На данный момент лучшим кандидатом на звание Теории Всего считается теория струн».

Так каков же все-таки ответ МЛ на поставленные им вопросы?

Его версия: «математика отчасти открыта, а отчасти изобретена. Люди постоянно изобретают математические понятия и открывают отношения между этими понятиями». Что же касается «непостижимой эффективности» математики, то если она «сводится к структурам, представляющим собой реальную часть мира природы, столь же реальную, что и понятия теоретической физики, не приходится удивляться, что она служит эффективным инструментом анализа реального мира». Другая точка зрения состоит в том, что человеческий мозг развивался так, чтобы легче было иметь дело с физическим миром, и для этого он (мозг) «разработал математику – язык, прекрасно подходящий для этой цели». Еще одно уточнение состоит в том, что «математические инструменты выбирались не произвольно, а вполне целенаправленно – исходя из того, насколько точно они способны предсказывать результаты тех или иных экспериментов и наблюдений». Этот многолетний отбор и гарантирует точность и эффективность математики, но все же она не в силах описать нашу Вселенную со всеми ее измерениями, т.е. все вышеупомянутые супервозможности математики все же ограничены, и она не всемогуща и не всеобъемлюща. 

Резюме: кому все это интересно, им стоит прочесть книжку МЛ, но я не думаю, что таких читателей будет много…